Hesap

Rasgele hareket (random walk) modellerine göre hapı yuttuğunuzu gösterir. Önce üç boyut ve uzay meselesini açalım. Basit olsun diye uzayımızı sabit adımlarla dolaşabildiğiniz kesikli bir yapıda düşünün. Tek boyutlu uzay, üstünde çentikler olan bir çubuktur. Çentikler üzerinde durup hareket edebilirsiniz ve her adımda ya sağa ya da sola gidebilirsiniz. İki boyutlu uzay, sadece çizgilerin kesiştiği noktalarda durup hareket edebildiğiniz bir ızgara gibi düşünülebilir. Her adımda sağ, sol, yukarı ve aşağı olmak üzere dört hareket seçeceğiniz vardır. Üç boyutlu uzay ise bunların doğal bir uzantısı olarak bir araya gelmiş telden küpler olarak düşünülebilir. Şimdi bir de bu uzayın her yönde sonsuza uzandığını düşünün; tam oldu.

Herhangi bir noktada harekete başladınız. Bir anda nerede olduğunuzu unuttunuz. Her nokta birbirinin aynısı olduğu için rasgele hareket etmek dışında bir seçeneğiniz yok. Attığınız her adım, sizi başladığınız noktaya yaklaştırıyor veya uzaklaştırıyor olabilir. Her yöne giden bu uzayda başlangıç noktanıza bir daha asla dönemeden sonsuza kadar arayışınıza devam edebilirsiniz. Haberler kötü, üç boyut için işler pek iç açıcı değil.

Tek veya iki boyutta rasgele harekette attığınız adımların sayısı sonsuza giderken başladığınız noktaya geri dönme şansınız da bire gider [1, 2]. Başka bir deyişle yeterince dolaşırsanız er geç başladığınız noktaya geri dönersiniz. Dolayısıyla korkuya mahal yok. Kaybolursanız tak yapmanız gereken her adımda önceki adımlarınızı tamamen unutup rasgele bir yöne adım atmak. Hatta bir kaç formül yazma şansım olsa size bu strateji ile kaç adımda başladığınız yere dönmeyi beklemelisiniz onu bile söyleyebilirdim.

Üç boyutta ise işler bu kadar kolay değil. Yapılan hesaplara göre belirli bir olasılıkla sonsuza kadar dolanıp duracaksınız ve asla başladığınız yere dönemeyeceksiniz. En kötüsü de attığınız adımlar sonsuza giderken hedefinize varıp varamayacağınızı (yani “gerçekten” kaybolup kaybolmadığınızı) asla bilemeyecek olmanız.

Şu an hatırlamadığım ispata binaen diyebilirim ki atığınız adımların sayısı sonsuza giderken başladığınız yere dönme olasılığınız bire değil 0.3405373296… diye giden bir sayıya yakınsar [3]. Yani sonsuz adım attığınız hâlde asla başladığınız yere dönemediğiniz durumlar mümkündür!

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk
[2] http://mathworld.wolfram.com/RandomWalk2-Dimensional.html
[3] http://mathworld.wolfram.com/RandomWalk3-Dimensional.html