Hesap

Bundan sonra anlatacaklarımız özel olarak çuvalları ve elmaları değil, içine bir “şeylerin” konabildiği her “şeyi” ilgilendirdiğinden gelin konan şeylere eleman, elemanların içine kondukları şeylere de küme diyelim. Artık çuvallar ve elmalardan öğrendiklerimizi tüm kümelere ve elemanlarına uygulayabiliriz. Öyleyse rahatlıkla iki kümenin eleman sayılarının eşit olup olmadığını anlamıza yarayan bir yöntemimiz var diyebiliriz.

Gelin eleman sayılarının eşitliğiyle ilgili kuramımızı ilerletelim. Bu sefer üç kümemiz olsun. Birinciye A, ikinciye B, üçüncüye de C diyelim. Varsayalım ki bir ara A ile B’yi ve başka bir zaman başka bir yerde de B ile C’yi birebir eşleyebildik. Acaba şimdi otursak A ile C’yi birebir eşleyebilir miyiz? Cevap ışıl ışıl parlıyor olsa da, biz ispatımızı yapmadan geçmeyelim. Üç torbayı da önümüze alalım. A ile B’yi birebir eşlemek için ikisinden de birer eleman çıkardığımızda, C’den de bir eleman çıkaralım. Bu B ile C’yi de birebir eşlemek olacaktır; çünkü B’den bir eleman çıkardığımızda C’den de bir eleman çıkıyor. A ile B’nin birebir eşlenebildiğini biliyoruz. Öyleyse sayma işlemi bittiğinde ne A’da ne de B’de eleman kalacak. Ama B’ile C’nin de birbir eşlenebildiğini biliyoruz. Yani sayma işlemi bittiğinde C’de de eleman kalmayacak. Demek ki A ile C’yi de birebir eşleyebilirmişiz: Birisinden bir eleman çıkardığımızda diğerinden de çıkarırsak birindeki elemanlar bittiğinde diğerindekiler de bitiyor.

Aynı tekniği kullanarak şunu da ispatlayabiliriz: A ile B birebir eşlenebiliyor, ama B ile C birebir eşlenemiyorsa, A ile C birebir eşlenemez. Bu gerçekler gözümüze sokuldukça, birbirleriyle birebir eşlenebilen kümelerin arkadaşlık grubu kurduğu ve farklı arkadaşlık gruplarının kendi aralarında birebir eşlenemediği bir topluluk beliriyor karşımızda. “Sekiz eleman içeren kümeler” ve “yirmi dört eleman içeren kümeler” bu arkadaşlık gruplarına birer örnek. İlk grupta sekiz elmalı çuvallar, sekiz yumurtalı sepetler ve sekiz düğmeli gömlekler kol kola gezerken, ikinci grupta yirmi dört kişilik sınıflarla yirmi dört vagonlu trenler halı saha maçı yapıyor.

Her arkadaşlık grubunu bir sayıyla tanımladığımızı fark etmişsinizdir. Öyleyse şimdi sayı dediğimiz soyut kavramın bize anlatmaya çalıştığı şeyi anlamaya başlıyoruz: Her sayı, birbirleriyle birebir eşlenebilen kümelerin oluşturduğu bir arkadaşlık grubudur. Bunu biraz daha kafa karıştırıcı, ama biraz daha şık olarak söylemek istersek, arkadaşlık grubu dediğimiz şeyin de pekâlâ bir küme (kümeler kümesi) olduğunu düşünerek, her sayı birbirleriyle birebir eşlenebilen kümelerin oluşturduğu bir kümedir deriz, konu kapanır.

İyi de, “bir elemanlı kümeler”, “iki elemanlı kümeler”, … e, kaç arkadaşlık grubu var bu toplulukta?

“On bir, on ikiii!”
– Susam Sokağı

Henüz sayıların esamesinin okunmadığı bir çağda bir kabiledesiniz. Kabilenin adaletinden siz sorumlusunuz. Önünüzde elmalarla dolu iki çuval var. İki çuvalda da aynı sayıda elma olduğunu ispatlamalısınız. Yoksa adalet tanrısı kabilenin fertlerinden birine az elma yedirdiğinizi düşünüp size takar ve bir daha iflah olmazsınız. Ağırlıkların eşitliğini öğrenmekte kullandığınız terazi işe yaramıyor. Elmalar farklı ağırlıkta olabilir ve biz ağırlıkla değil sayıyla ilgileniyoruz. (Aslında besinler söz konusu olunca ağırlık daha doğru bir ölçüt, ama gel de bunu tanrılara anlat.) Hacim ölçmek için Arşimet’ten öğrendiğiniz yöntem de kurtarmıyor. Hacimle de ilgilenmiyoruz. Adalet tanrısı ince ince gülümsüyor.

Oturup sayıları icat edecek vaktimiz olmadığına göre daha basit bir yöntem bulalım. Çuvallardan birer birer elma çıkaralım. Yani bir çuvaldan çıkan her elmaya karşılık diğerinden de bir elma çıksın. Çuvallardan birinde elma bittiğinde diğerinde hâlâ elma varsa iki çuvalda farklı sayıda elma varmış deriz. Aksi hâlde çuvallardaki elma sayıları eşittir. En azından biz öyle iddia edeceğiz. Sonra da soracağız: acaba bu ispat adalet tanrısını tatmin eder mi? Doğrusu, daha iyisini bulamaz! Yaptığımız iş, birebir eşleme diyelim ona, bir yerde sayıların eşitliğinin tanımıdır. İki çuvaldaki elmaların sayısının eşit olması demek, elmaların birebir eşlenebiliyor olması demektir. Tanrımız bundan da tatmin olmayacaksa, günahlarımız sevaplarımızı çoktan geçmiş, tanrı bizi üzmek için bahane arıyor demektir.

Sayılar olmayınca saymak ne ilginç bir problem oluyor. Yine de çözümsüz değil gördüğünüz gibi. Çuval-elma aritmetiğiyle büyüklük, küçüklük karşılaştırması, hatta toplama, çıkarma bile yapabilirsiniz. Çarpma ve bölmede işler biraz karışır. Ama önemli değil; çuvallarla trigonometri sorusu çözecek değiliz. Önemli olan sayı kavramına birazcık olsun dışarıdan bakabilmiş olmak. Ve, eğer yeterince dışarı çıkabildiyseniz görmüşsünüzdür ki; biz adına 53 demesek bile, 53 sayısı aslında oralarda bir yerlerde saklı. Pekiyi acaba nerede?

Rasgele hareket (random walk) modellerine göre hapı yuttuğunuzu gösterir. Önce üç boyut ve uzay meselesini açalım. Basit olsun diye uzayımızı sabit adımlarla dolaşabildiğiniz kesikli bir yapıda düşünün. Tek boyutlu uzay, üstünde çentikler olan bir çubuktur. Çentikler üzerinde durup hareket edebilirsiniz ve her adımda ya sağa ya da sola gidebilirsiniz. İki boyutlu uzay, sadece çizgilerin kesiştiği noktalarda durup hareket edebildiğiniz bir ızgara gibi düşünülebilir. Her adımda sağ, sol, yukarı ve aşağı olmak üzere dört hareket seçeceğiniz vardır. Üç boyutlu uzay ise bunların doğal bir uzantısı olarak bir araya gelmiş telden küpler olarak düşünülebilir. Şimdi bir de bu uzayın her yönde sonsuza uzandığını düşünün; tam oldu.

Herhangi bir noktada harekete başladınız. Bir anda nerede olduğunuzu unuttunuz. Her nokta birbirinin aynısı olduğu için rasgele hareket etmek dışında bir seçeneğiniz yok. Attığınız her adım, sizi başladığınız noktaya yaklaştırıyor veya uzaklaştırıyor olabilir. Her yöne giden bu uzayda başlangıç noktanıza bir daha asla dönemeden sonsuza kadar arayışınıza devam edebilirsiniz. Haberler kötü, üç boyut için işler pek iç açıcı değil.

Tek veya iki boyutta rasgele harekette attığınız adımların sayısı sonsuza giderken başladığınız noktaya geri dönme şansınız da bire gider [1, 2]. Başka bir deyişle yeterince dolaşırsanız er geç başladığınız noktaya geri dönersiniz. Dolayısıyla korkuya mahal yok. Kaybolursanız tak yapmanız gereken her adımda önceki adımlarınızı tamamen unutup rasgele bir yöne adım atmak. Hatta bir kaç formül yazma şansım olsa size bu strateji ile kaç adımda başladığınız yere dönmeyi beklemelisiniz onu bile söyleyebilirdim.

Üç boyutta ise işler bu kadar kolay değil. Yapılan hesaplara göre belirli bir olasılıkla sonsuza kadar dolanıp duracaksınız ve asla başladığınız yere dönemeyeceksiniz. En kötüsü de attığınız adımlar sonsuza giderken hedefinize varıp varamayacağınızı (yani “gerçekten” kaybolup kaybolmadığınızı) asla bilemeyecek olmanız.

Şu an hatırlamadığım ispata binaen diyebilirim ki atığınız adımların sayısı sonsuza giderken başladığınız yere dönme olasılığınız bire değil 0.3405373296… diye giden bir sayıya yakınsar [3]. Yani sonsuz adım attığınız hâlde asla başladığınız yere dönemediğiniz durumlar mümkündür!

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk
[2] http://mathworld.wolfram.com/RandomWalk2-Dimensional.html
[3] http://mathworld.wolfram.com/RandomWalk3-Dimensional.html

Küçük siyah bir alet bulduk yolda, üstünde “Bu alet evrende sorulabilecek her soruya kısa zamanda, eksiksiz ve doğru cevap verir.” yazıyor. Yaptığı işe saygısı ve bol zamanı olan her bilim adamı gibi biz de bu iddiayı sorgulamak istiyoruz. Nereden ve nasıl başlarız?

Önce basit, cevaplarını bildiğimiz sorular soralım: “2 kere 2 ne eder? Adım ne?. Pi sayısının ondalıktan sonraki 15. basamağı nedir?”. İlginç, sorulara doğru cevap verdi, çok zeki birisi tarafından programlanmış bir bilgisayar olmasın bu?

O halde daha zor sorular soralım, cevabını henüz bilmediğimiz ama gelecekte öğreneceğimiz: “Yarın yağmur yağacak mı? Bu haftaki sayısal loto sonuçları ne olur?”. E bunları da biliyor!

O halde sınamaya devam, kolayca çözemeyeceğimiz ama bir defa cevabı alınca onun doğruluğunu kontrol edebileceğimiz sorular soralım: “Şu gördüğün 1 milyon basamaklı sayının çarpanları nedir? AIDS’e çare olacak aşının formülü nedir?”. Valla hiç yanılmıyor, ne söylerse doğru çıkıyor.

Ciddi bir meydan okuma ile karşı karşıyayız. Tüm dünya, bilimin sesi olan bizim ağzımızın içine bakıyor. Bu alet gerçekten de olduğunu iddia ettiği şey mi? Yoksa bir gün yanlış cevap verecek çok harika ama aynı zamanda sahtekar bir makine mi? Doğruya ulaşmak için sınamaya devam, daha zor sorular bulmalıyız. Cevabını bilmediğimiz, gelecekte de bilemeyeceğimiz, daha da kötüsü elimizde cevap olsa bile doğru mu değil mi karar veremeyeceğimiz sorular nasıl olur? Bu tür soruların var olduğunu biliyoruz. Matematiksel mantık bu evrende asla cevaplanamayacak sorular olduğu söylüyor ve bu tür sorular inşa etmek için de bir yol sunuyor. Ama sorun şu ki, aletin verdiği cevabın doğru olup olmadığını kontrol edecek bir mekanizmamız yok. Yani alet bazı cevapları kafadan atıyor olabilir ve ne yazık ki bizim bunu anlayacak yeterli vaktimiz yok (hoş sonsuz vaktimiz olsaydı bile anlayamazdık ya!).

Galiba çuvallamaya başladık yavaştan. Bu aletin harikulade bir şey olduğu açık. Ne de olsa sayısalda 6′yı tutturup zengin olmamızı sağladı, AIDS’e çare buldu falan. Ama işe yarar olması bir şey, olduğunu iddia ettiği şey olması başka bir şey. Ve korkarım ki bu konuda bir bilim adamı olarak daha da ileri gidemeyeceğiz. Yavaştan raporumuzda nasıl kıvıracağımızı düşünmeye başlasak iyi ederiz.

Bilimin bugün kullandığı temel yöntemi yani bir önermeyi yanlışlamaya çalışarak doğruluğunu sınama yönteminin sınırlarını gösterebilmişimdir umarım. Modern bilimde bir önermeyi kesin olarak ispatlama gibi bir lüksümüz yok (matematiktekinin aksine). Yapabileceğimizin en iyisi “Bakın bu önerme şu şu testlerden geçti ve hala ayakta duruyor, e şimdilik de işimize yaradığına göre çuvallayana kadar ya da elimize daha iyisi geçene kadar onun doğru olduğunu kabul edelim.” demektir.

Peki bu hikayeden çıkarmamız gereken kıssadan hisse ne? Bilimde kahinlere, mucizelere yer olmadığı. Bu evrende bir yerlerde bir kahin ya da başka bir mucizevi varlık olsa bile bilimin yöntemlerini kullanarak onu tanıma şansımız olmaz. En fazla “Bu varlığın çalışma prensiplerini henüz bilmiyoruz ve ileride bulmayı ümit ediyoruz.” diyebiliriz. Eğer bilimsel yönteme sadık kalacaksak hiç bir deneyim bizi (bir bilim insanı olarak) şaşırtmamalı.

Önce kafamızdaki bilgisayar kavramını netleştirmek gerek. Bilgisayar illa da kucağımızda tuttuğumuz dizüstü ya da ofiste kullandığımız masaüstü alet olmak zorunda değil. Bilgi işleyen her sistemi bir bilgisayar olarak düşünebiliriz. Abaküs, insan beyni, bilardo masası (!) ve tabi ki günümüzdeki elektronik aletler… Bunların hepsi bilgi işlemek için kullanılabilir ve hesap kuramı çerçevesinde bilgisayar olarak düşünülebilirler. İşin güzeli, Turing makinesi dediğimiz matematiksel bir model bugüne kadar inşa edebildiğimiz ve inşa etmeyi hayal edebildiğimiz tüm bilgisayarların işlem gücünün sınırlarını net bir şekilde ortaya koyuyor. Bellek ve işlem hızı gibi ayrıntıları bir kenara koyarsak “Elimizdeki en güçlü bilgi işleyen alet modeli Turing makinesidir. Kullandığımız tüm bilgisayarlar da böyle evrensel bir Turing makinesi tarafından simüle edilebilirler. Yani bir bilgisayarın yapabilip de evrensel Turing makinesinin yapamayacağı bir şey yoktur.” diyebiliriz.

Peki inşa etmeyi hayal edebildiğimiz bilgisayarları sınırlayan şey nedir? Bu evrendeki fizik yasaları. Hem matematiksel bir model olarak ortaya konan Turing makinesinin hem de bu evrenin bize dayattığı fizik yasalarının işlem gücü olarak aynı sınırları çizmesi tesadüfün de ötesinde, aslında Turing makinesinin bu evrenin bazı sınırlamalarını da yakaladığını gösteriyor. İşin içine kuantum olayları girdiğinde nelerin olduğu, kuantum Turing makinesinin hesap kuramı açısından neleri değiştirdiği veya değiştireceği bu tartışmanın dışında. bir kuantum bilgisayarı olarak evren henüz üzerinde ahkâm kesemeyeceğim bir konu.

Eğer Newton fiziğine bağlı kalırsak, bu evrende gerçekleşen hemen her olayı, yine Newton fiziği kurallarına dayanılarak gerçeklenen bir Turing makinesinde simüle edebileceğimizi görürüz. Bellek ve hız konusunu ayrıntı olarak kabul ettiğimizi, bizi ilgilendiren tek şeyin hesaplanabilirlik olduğunu hatırlayalım. Klasik fizik kurallarına göre gerçekleşen bir olay yine klasik fizik kurallarına göre işleyen bir Turing makinesinde “hesaplanabilir”.

Bu bakış açısı bize ne getiriyor? Bilgisayar bilimcilerinin üzerinde konuşmayı sevdikleri pek çok hesap probleminin aslında evrende fiziksel karşılıklarının da bulunduğunu görüyoruz. Pek çok optimizasyon probleminin hemen her saniye doğada gerçekleşen olaylarda kendilerine çözüm bulduğunu görüyoruz. Aslında fizikçilerin elinde hesap kuramı açısından çok değerli bilgiler var ve iki alana da hakim insan sayısı ne kadar artarsa iki bilim dalının birbirine attığı paslar da o kadar artacaktır. Fizikçilerin de bu evrenin temel algoritmasını anlamak için çalışan deneysel hesapçılar olduğunu iddia etmek o kadar da fütursuzca değil